Metodo de Cross

 Metodo de Distribucion de Momentos
(Metodo de Cross)

El metodo de Cross es un metodo de analisis estructural para vigas estaticamente indeterminadas y marcos/porticos planos, desarrollado por Hardy Cross y que permitia el calculo de estructuras hiperestaticas mediante un metodo iterativo que convergua hacia la solucion correcta.

El método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. 

Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más usado en la práctica. 

Hardy Cross (1895-1959), ingeniero estructural estadounidense.

El metodo de Cross puede dividirse en una serie de fases o etapas de calculo.

Las etapas son:

Etapa previa de cálculo de los momentos de empotramiento fijos: así como cálculo de los coeficientes de transmisión y distribución. Esta etapa se realiza sólo una vez.

Etapa de distribución de momentos: dentro de cada nudo se suman todos los momentos aplicados, cuando la suma no es cero el nudo estará desequilibrado y será necesario producir un giro que deformará los elementos estructurales convergentes a dicho nudo. 

Tras la aparición de giros y deformaciones aparecerán momentos elásticos que deben calcularse. Estos se calculan "repartiendo" o distribuyendo el momento de desequilibrio entre las barras de acuerdo a los coeficientes de reparto que dependen de las rigideces relativas. El elemento más rígido es que el que asumirá la mayor parte del momento de desequilibrio. 

A esta fase le sigue siempre la fase de transmisión de momentos.

Etapa de transmisión de momentos: una vez planteado el equilibrio parcial de los nudos mediante la aparición de fuerzas elásticas que se oponen a los giros, debe tenerse en cuenta que en cada barra no se puede deformar un nudo extremo sin que el otro sufra una variación de esfuerzos. 

El cálculo de esas variaciones es la llamada transmisión de esfuerzos, a partir de lo momento repartidos en la fase anterior es necesario ver que momentos inducen en los nudos conectados por vigas o pilares. Estos nuevos momentos se denominan momentos transmitidos.

Ejemplo.

La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.

• Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud ${\displaystyle L=10\ {\text{m}}}$.
• Las rigideces flexionales son EI, 2EI, EI respectivamente.
• Cargas concentradas de magnitud ${\displaystyle P=10{\text{kN}}}$ actúan a una distancia ${\displaystyle a=3\ {\text{m}}}$ desde el soporte A.
• Carga uniforme de intensidad ${\displaystyle q=1\ {\text{kN/m}}}$ actúa en BC.
• Miembro CD está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud ${\displaystyle P=10\ {\text{kN}}}$.

En los siguientes cálculos, los momentos antihorarios son positivos.

Coeficientes de reparto

${\displaystyle D_{BA}={\frac {\frac {3EI}{L}}{{\frac {3EI}{L}}+{\frac {4\times 2EI}{L}}}}={\frac {\frac {3}{10}}{{\frac {3}{10}}+{\frac {8}{10}}}}=0.2727}$

${\displaystyle D_{BC}={\frac {\frac {4\times 2EI}{L}}{{\frac {3EI}{L}}+{\frac {4\times 2EI}{L}}}}={\frac {\frac {8}{10}}{{\frac {3}{10}}+{\frac {8}{10}}}}=0.7273}$

${\displaystyle D_{CB}={\frac {\frac {4\times 2EI}{L}}{{\frac {4\times 2EI}{L}}+{\frac {4EI}{L}}}}={\frac {\frac {8}{10}}{{\frac {8}{10}}+{\frac {4}{10}}}}=0.6667}$

${\displaystyle D_{CD}={\frac {\frac {4EI}{L}}{{\frac {4\times 2EI}{L}}+{\frac {4EI}{L}}}}={\frac {\frac {4}{10}}{{\frac {8}{10}}+{\frac {4}{10}}}}=0.3333}$

Los coeficientes de reparto de las juntas A y D son ${\displaystyle D_{AB}=D_{DC}=1}$.